Introduction You’ve already learned about probability and how two events can be independent. Recall that two events, A and B, are independent if knowing that one occurs doesn’t change the probability of the other occurring. Mathematically, this is written as: P(A and B) = P(A) × P(B) But what happens when we have three events? Is independence... » read more
引言 你已經學過機率，也知道兩個事件如何成為獨立事件。回想一下，兩個事件A和B如果滿足「其中一個事件發生不會影響另一個事件發生的機率」，就稱為獨立事件。用數學式表示就是： P(A且B) = P(A) × P(B) 但如果有三個事件呢？獨立性是否只要檢查每對事件獨立就足夠了？讓我們來探討這個問題。 兩個事件的獨立性（快速回顧） 首先，複習兩個事件獨立的定義： 這些都表達同一個意思——一個事件的發生不會影響另一個事件的發生機率。 擴展到三個事件 現在假設有三個事件：A、B和C。乍看之下，我們可能認為只要每對事件都獨立，三個事件就完全獨立。也就是： 但這樣還不夠！我們需要第四個條件： 這個額外條件確保事件不僅兩兩獨立，而是作為一個整體也獨立。 為什麼兩兩獨立不足夠？ 來看這個例子： 範例：擲硬幣兩次 假設我們擲一枚公平硬幣兩次。定義以下三個事件： 現在計算各事件機率： 檢查兩兩獨立性： 每對事件都獨立！但現在檢查三個事件一起發生的情況： 因為 ¼ ≠ ⅛，這三個事件並非完全獨立，即使每對事件都獨立！ 結論 要確認三個事件完全獨立，必須滿足： 這說明隨著事件增加，獨立性的判斷也變得更複雜。不能只因為事件兩兩獨立，就認為它們作為整體也獨立！ 理解這一點，能幫助我們在更複雜的情境中正確分析機率。
引言 你已经学过概率，也知道两个事件如何成为独立事件。回想一下，两个事件A和B如果满足”其中一个事件发生不会影响另一个事件发生的概率”，就称为独立事件。用数学式表示就是： P(A且B) = P(A) × P(B) 但如果有三个事件呢？独立性是否只要检查每对事件独立就足够了？让我们来探讨这个问题。 两个事件的独立性（快速回顾） 首先，复习两个事件独立的定义： 这些都表达同一个意思——一个事件的发生不会影响另一个事件的发生概率。 扩展到三个事件 现在假设有三个事件：A、B和C。乍看之下，我们可能认为只要每对事件都独立，三个事件就完全独立。也就是： 但这样还不够！我们需要第四个条件： 这个额外条件确保事件不仅两两独立，而是作为一个整体也独立。 为什么两两独立不足够？ 来看这个例子： 示例：掷硬币两次 假设我们掷一枚公平硬币两次。定义以下三个事件： 现在计算各事件概率： 检查两两独立性： 每对事件都独立！但现在检查三个事件一起发生的情况： 因为 ¼ ≠ ⅛，这三个事件并非完全独立，即使每对事件都独立！ 结论 要确认三个事件完全独立，必须满足： 这说明随着事件增加，独立性的判断也变得更复杂。不能只因为事件两两独立，就认为它们作为整体也独立！ 理解这一点，能帮助我们在更复杂的情境中正确分析概率。