Challenging Questions Mathematics – Module 2 (Algebra and Calculus) Learning Unit: More about trigonometric functions Question M2-04-01 The smallest angles of three distinct primitive Pythagorean triangles have a sum of π/2 radians. Two of these triangles are given by the triples (3, 4, 5) and (5, 12, 13). Identify the third primitive Pythagorean triple. #... » read more
Introduction When you first learn about angles, you probably measure them in degrees. A full circle is 360°, a right angle is 90°, and so on. But as you move into higher-level math, you’ll encounter a different unit called the radian. Why do mathematicians prefer radians over degrees? The answer lies in simplicity, natural connections to... » read more
引言 當你第一次學習角度時，你可能會用「度」（°）來測量。一個完整的圓是360°，直角是90°，依此類推。但當你進入更高階的數學時，會遇到另一種單位，稱為「弧度」（radian）。為什麼數學家更喜歡用弧度而不是度數呢？答案在於弧度更簡潔、與圓的自然聯繫更緊密，並且能讓高等數學的運算更簡單。 什麼是弧度？ 弧度是基於圓的半徑來測量角度的一種方式，定義如下： 因此，數學家不說360°，而是說 2π 弧度。 弧度為什麼好用？ 1. 與圓的自然聯繫 度數的定義是人為的——為什麼是360？這源自古代文明的習慣。但弧度直接來自圓的結構。由於圓周長是 2πr，使用弧度能讓數學公式更簡潔。例如： 這樣的表示方式讓公式更簡潔。 2. 簡化微積分與三角函數 在高等數學（如微積分）中，使用弧度能讓導數和積分的計算更簡潔。例如： 3. 在物理和工程中的重要性 弧度在物理學中自然出現，例如： 使用弧度能讓方程式保持一致，避免不必要的單位轉換。 例子：比較度數與弧度 假設你想計算圓上一段弧的長度： 如果使用度數，則需要額外步驟： 弧度讓計算更簡單！ 結論 弧度一開始可能看起來有點奇怪，但在高等數學中，它是一種更自然的角度測量方式。它能簡化公式、讓微積分更直觀，並且在科學和工程中廣泛應用。因此，隨著你學習更深入的數學，你會發現弧度的重要性——它能讓數學運算更簡潔高效！
引言 当你第一次学习角度时，你可能会用”度”（°）来测量。一个完整的圆是360°，直角是90°，以此类推。但当你进入更高阶的数学时，会遇到另一种单位，称为”弧度”（radian）。为什么数学家更喜欢用弧度而不是度数呢？答案在于弧度更简洁、与圆有着更自然的联系，并且能让高等数学的运算更简单。 什么是弧度？ 弧度是基于圆的半径来测量角度的一种方式，定义如下： 因此，数学家不说360°，而是说2π弧度。 弧度为什么好用？ 1. 与圆有自然联系 度数的定义是人为的——为什么是360？这源自古代文明的习俗。但弧度直接来自圆的结构。由于圆周长为2πr，使用弧度能让数学公式更简洁。例如： 这样的表示方式让公式更简洁。 2. 简化微积分与三角函数 在高等数学（如微积分）中，使用弧度能让导数和积分的计算更简洁。例如： 3. 在物理和工程中的重要性 弧度在物理学中自然出现，例如： 使用弧度能让方程保持一致，避免不必要的单位转换。 例子：比较度数与弧度 假设你想计算圆上一段弧的长度： 如果使用度数，则需要额外步骤： 弧度让计算更简单！ 结论 弧度一开始可能看起来有点奇怪，但在高等数学中，它是一种更自然的角度测量方式。它能简化公式、让微积分更直观，并且在科学和工程中广泛应用。因此，随着你学习更深入的数学，你会发现弧度的重要性——它能让数学运算更简洁高效！