引言 在機率論中，二項分佈 (Binomial Distribution) 和 泊松分佈 (Poisson Distribution) 是兩個最重要的分佈。乍看之下，它們似乎毫無關聯： 但令人驚奇的是，泊松分佈其實是二項分佈在特定條件下的極限形式！ 讓我們一起探索這個有趣的數學關聯。 1. 二項分佈 二項分佈描述在 \( n \) 次獨立試驗中，恰好發生 \( k \) 次成功的機率，其中每次試驗的成功機率為 \( p \)。 其機率質量函數 (PMF) 為： \(P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}\) 範例：如果你擲一枚公平硬幣 (\( p = 0.5 \)) 10 次 (\( n = 10 \))，恰好出現 3 次正面 (\( k =... » read more
引言 在概率论中，二项分布 (Binomial Distribution) 和 泊松分布 (Poisson Distribution) 是两个最重要的分布。乍看之下，它们似乎毫无关联： 但令人惊奇的是，泊松分布其实是二项分布在特定条件下的极限形式！ 让我们一起探索这个有趣的数学联系。 1. 二项分布 二项分布描述在 \( n \) 次独立试验中，恰好发生 \( k \) 次成功的概率，其中每次试验的成功概率为 \( p \)。 其概率质量函数 (PMF) 为： \(P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}\) 示例：如果你抛一枚公平硬币 (\( p = 0.5 \)) 10 次 (\( n = 10 \))，恰好出现 3 次正面 (\( k =... » read more
Why is \(F=\frac{mv−mu}{t}\) More Fundamental Than \(F=ma\)? Introduction In physics, force is a key concept that explains how objects move or change their motion. You may have learned two equations related to force: At first glance, both equations seem similar, but the second one (\(F=\frac{mv−mu}{t}\)) is actually more fundamental. Let’s explore why. Understanding the Two Equations Why is... » read more
為什麼 \(F=\frac{mv−mu}{t}\) 比 \(F=ma\) 更基本？ 引言 在物理學中，「力」是一個核心概念，用來解釋物體如何運動或改變運動狀態。你可能學過兩個與力相關的公式： 乍看之下，這兩個公式很相似，但第二個公式（\(F=\frac{mv−mu}{t}\)）其實更為基本。讓我們來探討原因。 理解這兩個公式 為什麼第二個公式更基本？ 例子：火箭發射 結論 雖然 \(F=ma\) 更簡單且在許多情況下很好用，但 \(F=\frac{mv−mu}{t}\) 更基本，因為： 所以，下次思考「力」時，請記住：力其實是動量隨時間的變化！
为什么 \(F=\frac{mv−mu}{t}\) 比 \(F=ma\) 更基本？ 引言 在物理学中，”力”是一个核心概念，用来解释物体如何运动或改变运动状态。你可能学过两个与力相关的公式： 乍看之下，这两个公式很相似，但第二个公式（\(F=\frac{mv−mu}{t}\)）其实更为基本。让我们来探讨原因。 理解这两个公式 为什么第二个公式更基本？ 例子：火箭发射 结论 虽然 \(F=ma\) 更简单且在许多情况下很好用，但 \(F=\frac{mv−mu}{t}\) 更基本，因为： 所以，下次思考”力”时，请记住：力其实是动量随时间的变化！
Introduction When learning about motion with constant acceleration (like a car speeding up or a ball rolling down a hill), we use special equations to connect five key quantities: Since there are five variables, we might expect five equations—one for each case where we don’t use one of the variables. Most textbooks give three or four equations,... » read more
引言 當我們學習勻加速運動（例如汽車加速或球滾下山坡）時，會用到五個關鍵物理量： 既然有五個變量，我們可能會認為應該有五個方程式——每個方程式對應缺少一個變量的情況。但大多數教科書只列出三或四個方程式，其實還有第五個常被忽略的方程式！讓我們來探討原因。 常見的三（或四）個方程式 大多數教科書首先教授這三個主要方程式： 有些課本會補充第四個方程式： 但其實還有第五個方程式很少被提及： 為什麼第五個方程式（s = vt − ½ at²）被省略？ 你應該學習全部五個嗎？ 是的！即使第五個方程式不常出現在課本中，它在某些問題中能節省時間。例如： *一輛汽車剎車4秒（t）後減速至10 m/s（v），加速度為−2 m/s²（a）。請問它行駛了多遠？* 使用s = vt − ½ at²： 如果沒有這個方程式，你得先用v = u + at求出u，多一個步驟。 結論 教科書通常只專注於最常用的三或四個方程式，第五個（s = vt − ½ at²）被省略的原因是： 但掌握全部五個方程式能讓你成為更聰明的解題者！
引言 在学习匀加速运动（比如汽车加速或球滚下山坡）时，我们会用到五个关键物理量： 既然有五个变量，按理说应该有五个方程——每个方程对应缺少一个变量的情况。但大多数教材只列出三到四个方程，其实还有第五个常被忽略的方程！让我们来探究原因。 常见的三（或四）个方程 大多数教材主要教授这三个基本方程： 有些教材会补充第四个方程： 但其实还有第五个很少被提及的方程： 为什么第五个方程（s = vt – ½ at²）被省略？ 需要掌握全部五个吗？ 是的！虽然第五个方程不常出现，但在某些问题中能节省时间。例如： 一辆汽车刹车4秒(t)后减速至10 m/s(v)，加速度为-2 m/s²(a)。求行驶距离？ 使用s = vt – ½ at²：s = (10)(4) – ½ (-2)(4)² = 40 + 16 = 56米 若不用这个方程，需要先用v = u + at求u，多一个步骤。 结论 教材通常只重点介绍最常用的三四个方程，第五个(s = vt – ½ at²)被省略的原因是： 但掌握全部五个方程能让你解题更灵活！
Have you ever heard the words hypothesis and assumption and wondered if they mean the same thing? While they might seem similar, they are actually quite different—especially in science and statistics. Let’s explore what each term means and how they are used. What is an Assumption? An assumption is something we believe to be true without any proof. It’s like making... » read more
你是否曾經聽過「假設」(hypothesis) 和「假定」(assumption) 這兩個詞，並好奇它們是否意思相同？雖然它們看起來相似，但實際上卻有很大不同——特別是在科學和統計學中。讓我們來探討這兩個詞的含義以及它們的用途。 什麼是假定 (Assumption)？ 假定是我們在沒有證據的情況下認為是正確的事情。這就像基於我們的想法或預期所做的猜測。 例子：如果你說：「我假定今天會下雨，因為天空陰陰的。」你就是在做一個假定。你沒有任何數據或實驗來證明這一點——你只是根據你所看到的進行猜測。 假定在日常生活中很常見。我們經常不自覺地做出假定！然而，在科學和統計學中，假定需要仔細檢查，因為它們可能會影響實驗或研究的結果。 什麼是假設 (Hypothesis)？ 假設是一個更有結構的想法，可以通過實驗或觀察來測試。它不僅僅是一個猜測——而是一個可以用證據證明真假陳述。 例子：如果一位科學家說：「如果我每天給植物澆水，那麼它會比沒有澆水的植物長得更高。」這就是一個假設。這個陳述可以通過對兩株植物進行實驗來測試——一株澆水，另一株不澆水。 一個好的假設應該：✔ 可測試的（可以通過實驗驗證）✔ 清晰且具體（不能太模糊）✔ 基於某些知識（不是憑空猜測） 假設與假定的主要區別 特徵 假定 (Assumption) 假設 (Hypothesis) 定義 沒有證據的信念 基於證據的可測試預測 需要證明嗎？ 不需要——暫時接受為真 需要——必須通過實驗測試 在科學中使用嗎？ 有時使用，但不一定驗證 總是在實驗中測試 例子 「我假定學生喜歡數學。」 「如果學生每天練習數學，他們的考試成績會提高。」 為什麼這很重要？ 在科學和統計學中，了解這兩個詞的區別非常重要。 例如，如果你假定「吃胡蘿蔔可以改善視力」，那只是一個想法。但如果你設計一個實驗來測試「吃更多胡蘿蔔的人是否視力更好」，那麼你就有一個假設了！ 結論 假定和假設在科學和日常生活中都很重要。關鍵的區別在於：假定是未經測試的信念，而假設是可測試的預測。 下次當你聽到有人說「我假定…」或「我的假設是…」時，想想他們是在猜測還是在提出一個可以實驗的想法。理解這種區別將幫助你像科學家一樣思考！
你是否曾经听过”假设”(hypothesis)和”假定”(assumption)这两个词，并好奇它们是否意思相同？虽然它们看起来相似，但实际上有很大不同——特别是在科学和统计学中。让我们来探讨这两个词的含义以及它们的用途。 什么是假定(Assumption)？ 假定是我们在没有证据的情况下认为是正确的事情。这就像基于我们的想法或预期所做的猜测。 例子：如果你说：”我假定今天会下雨，因为天空阴阴的。”你就是在做一个假定。你没有任何数据或实验来证明这一点——你只是根据你所看到的进行猜测。 假定在日常生活中很常见。我们经常不自觉地做出假定！然而，在科学和统计学中，假定需要仔细检查，因为它们可能会影响实验或研究的结果。 什么是假设(Hypothesis)？ 假设是一个更有结构的想法，可以通过实验或观察来测试。它不仅仅是一个猜测——而是一个可以用证据证明真假的陈述。 例子：如果一位科学家说：”如果我每天给植物浇水，那么它会比没有浇水的植物长得更高。”这就是一个假设。这个陈述可以通过对两株植物进行实验来测试——一株浇水，另一株不浇水。 一个好的假设应该：✔ 可测试的（可以通过实验验证）✔ 清晰且具体（不能太模糊）✔ 基于某些知识（不是凭空猜测） 假设与假定的主要区别 特征 假定(Assumption) 假设(Hypothesis) 定义 没有证据的信念 基于证据的可测试预测 需要证明吗？ 不需要——暂时接受为真 需要——必须通过实验测试 在科学中使用吗？ 有时使用，但不一定验证 总是在实验中测试 例子 “我假定学生喜欢数学。” “如果学生每天练习数学，他们的考试成绩会提高。” 为什么这很重要？ 在科学和统计学中，了解这两个词的区别非常重要。 例如，如果你假定”吃胡萝卜可以改善视力”，那只是一个想法。但如果你设计一个实验来测试”吃更多胡萝卜的人是否视力更好”，那么你就有假设了！ 结论 假定和假设在科学和日常生活中都很重要。关键的区别在于：假定是未经测试的信念，而假设是可测试的预测。 下次当你听到有人说”我假定…”或”我的假设是…”时，想想他们是在猜测还是在提出一个可以实验的想法。理解这种区别将帮助你像科学家一样思考！
Introduction In your physics textbook, you may have noticed the word “radiation” appearing in two different chapters—one in the heat transfer section and another in nuclear physics. At first glance, this might seem confusing. How can the same word describe two different things? The answer lies in the different meanings of “radiation” in these contexts. 1. Radiation as a Method... » read more