Have you ever noticed how many things in life seem to cluster around an average? For example, most people are of average height, while very tall or very short people are rarer. This pattern isn’t just a coincidence—it’s often described by something called the normal distribution, one of the most important ideas in statistics. But... » read more
你是否注意過，生活中許多事物總是圍繞著某個平均值分佈？例如，大多數人的身高都接近平均值，而特別高或特別矮的人則較少。這種現象並非巧合，它往往可以用統計學中一個重要的概念——常態分佈（Normal Distribution）來描述。但為什麼這個分佈的公式長這樣？現實世界真的嚴格遵循常態分佈嗎？還是它只是一個近似模型？讓我們一起探討！ 什麼是常態分佈？ 常態分佈又稱「鐘形曲線」（因其形狀像一座鐘），它描述了數據如何圍繞平均值分散。其數學公式如下： \(f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\) 乍看之下可能有點複雜，但我們可以拆解它的含義： 這個公式會畫出一條對稱的鐘形曲線：多數數據集中在平均值附近，而遠離平均值的極端值出現的機率則越來越低。 為什麼公式長這樣？ 這個公式並非隨意發明，而是源自數學和概率論的推導。簡單來說： 現實世界真的嚴格遵循常態分佈嗎？ 雖然常態分佈能很好地描述許多現象，但它並非萬能。實際情況是： ✅ 它對許多現象是良好的近似——例如身高、考試成績、測量誤差，甚至某些自然現象（如血壓）大致符合常態分佈，因為它們由大量微小獨立的因素影響。 ❌ 但並非所有數據都適用——某些現實數據與鐘形曲線不符： 它只是一個近似模型嗎？ 是的！在科學和統計學中，我們常將常態分佈作為簡化模型，因為它在數學上便於計算且適用於許多情況。但現實數據往往更複雜，有時其他分佈（例如描述網路流量的「冪律分佈」或城市規模的分佈）更能準確反映實際情況。 結語 常態分佈是一個強大的工具，幫助我們理解數據的規律。雖然並非所有事物都完美符合它，但它在描述自然和人為現象時非常有用。所以，下次看到鐘形曲線時，請記住：這是數學在告訴我們，這個世界有時候真的很「愛平均」！
你是否注意到，生活中许多事物总是围绕着某个平均值分布？例如，大多数人的身高都接近平均值，而特别高或特别矮的人则较少。这种现象并非巧合，它往往可以用统计学中一个重要的概念——正态分布（Normal Distribution）来描述。但为什么这个分布的公式长这样？现实世界真的严格遵循正态分布吗？还是它只是一个近似模型？让我们一起探讨！ 什么是正态分布？ 正态分布又称”钟形曲线”（因其形状像一座钟），它描述了数据如何围绕平均值分散。其数学公式如下： \(f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\) 乍看之下可能有点复杂，但我们可以拆解它的含义： 这个公式会画出一条对称的钟形曲线：多数数据集中在平均值附近，而远离平均值的极端值出现的概率则越来越低。 为什么公式长这样？ 这个公式并非随意发明，而是源自数学和概率论的推导。简单来说： 现实世界真的严格遵循正态分布吗？ 虽然正态分布能很好地描述许多现象，但它并非万能。实际情况是： ✅ 它对许多现象是良好的近似——例如身高、考试成绩、测量误差，甚至某些自然现象（如血压）大致符合正态分布，因为它们由大量微小独立的因素影响。 ❌ 但并非所有数据都适用——某些现实数据与钟形曲线不符： 它只是一个近似模型吗？ 是的！在科学和统计学中，我们常将正态分布作为简化模型，因为它在数学上便于计算且适用于许多情况。但现实数据往往更复杂，有时其他分布（例如描述网络流量的”幂律分布”或城市规模的分布）更能准确反映实际情况。 结语 正态分布是一个强大的工具，帮助我们理解数据的规律。虽然并非所有事物都完美符合它，但它在描述自然和人为现象时非常有用。所以，下次看到钟形曲线时，请记住：这是数学在告诉我们，这个世界有时候真的很”爱平均”！
Introduction In probability theory, two of the most important distributions are the Binomial and Poisson distributions. At first glance, they seem unrelated: But surprisingly, the Poisson distribution can be derived from the Binomial distribution under certain conditions! Let’s explore this fascinating connection. 1. The Binomial Distribution The Binomial distribution describes the probability of getting exactly... » read more
引言 在機率論中，二項分佈 (Binomial Distribution) 和 泊松分佈 (Poisson Distribution) 是兩個最重要的分佈。乍看之下，它們似乎毫無關聯： 但令人驚奇的是，泊松分佈其實是二項分佈在特定條件下的極限形式！ 讓我們一起探索這個有趣的數學關聯。 1. 二項分佈 二項分佈描述在 \( n \) 次獨立試驗中，恰好發生 \( k \) 次成功的機率，其中每次試驗的成功機率為 \( p \)。 其機率質量函數 (PMF) 為： \(P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}\) 範例：如果你擲一枚公平硬幣 (\( p = 0.5 \)) 10 次 (\( n = 10 \))，恰好出現 3 次正面 (\( k =... » read more
引言 在概率论中，二项分布 (Binomial Distribution) 和 泊松分布 (Poisson Distribution) 是两个最重要的分布。乍看之下，它们似乎毫无关联： 但令人惊奇的是，泊松分布其实是二项分布在特定条件下的极限形式！ 让我们一起探索这个有趣的数学联系。 1. 二项分布 二项分布描述在 \( n \) 次独立试验中，恰好发生 \( k \) 次成功的概率，其中每次试验的成功概率为 \( p \)。 其概率质量函数 (PMF) 为： \(P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}\) 示例：如果你抛一枚公平硬币 (\( p = 0.5 \)) 10 次 (\( n = 10 \))，恰好出现 3 次正面 (\( k =... » read more
Introduction You’ve already learned about probability and how two events can be independent. Recall that two events, A and B, are independent if knowing that one occurs doesn’t change the probability of the other occurring. Mathematically, this is written as: P(A and B) = P(A) × P(B) But what happens when we have three events? Is independence... » read more
引言 你已經學過機率，也知道兩個事件如何成為獨立事件。回想一下，兩個事件A和B如果滿足「其中一個事件發生不會影響另一個事件發生的機率」，就稱為獨立事件。用數學式表示就是： P(A且B) = P(A) × P(B) 但如果有三個事件呢？獨立性是否只要檢查每對事件獨立就足夠了？讓我們來探討這個問題。 兩個事件的獨立性（快速回顧） 首先，複習兩個事件獨立的定義： 這些都表達同一個意思——一個事件的發生不會影響另一個事件的發生機率。 擴展到三個事件 現在假設有三個事件：A、B和C。乍看之下，我們可能認為只要每對事件都獨立，三個事件就完全獨立。也就是： 但這樣還不夠！我們需要第四個條件： 這個額外條件確保事件不僅兩兩獨立，而是作為一個整體也獨立。 為什麼兩兩獨立不足夠？ 來看這個例子： 範例：擲硬幣兩次 假設我們擲一枚公平硬幣兩次。定義以下三個事件： 現在計算各事件機率： 檢查兩兩獨立性： 每對事件都獨立！但現在檢查三個事件一起發生的情況： 因為 ¼ ≠ ⅛，這三個事件並非完全獨立，即使每對事件都獨立！ 結論 要確認三個事件完全獨立，必須滿足： 這說明隨著事件增加，獨立性的判斷也變得更複雜。不能只因為事件兩兩獨立，就認為它們作為整體也獨立！ 理解這一點，能幫助我們在更複雜的情境中正確分析機率。
引言 你已经学过概率，也知道两个事件如何成为独立事件。回想一下，两个事件A和B如果满足”其中一个事件发生不会影响另一个事件发生的概率”，就称为独立事件。用数学式表示就是： P(A且B) = P(A) × P(B) 但如果有三个事件呢？独立性是否只要检查每对事件独立就足够了？让我们来探讨这个问题。 两个事件的独立性（快速回顾） 首先，复习两个事件独立的定义： 这些都表达同一个意思——一个事件的发生不会影响另一个事件的发生概率。 扩展到三个事件 现在假设有三个事件：A、B和C。乍看之下，我们可能认为只要每对事件都独立，三个事件就完全独立。也就是： 但这样还不够！我们需要第四个条件： 这个额外条件确保事件不仅两两独立，而是作为一个整体也独立。 为什么两两独立不足够？ 来看这个例子： 示例：掷硬币两次 假设我们掷一枚公平硬币两次。定义以下三个事件： 现在计算各事件概率： 检查两两独立性： 每对事件都独立！但现在检查三个事件一起发生的情况： 因为 ¼ ≠ ⅛，这三个事件并非完全独立，即使每对事件都独立！ 结论 要确认三个事件完全独立，必须满足： 这说明随着事件增加，独立性的判断也变得更复杂。不能只因为事件两两独立，就认为它们作为整体也独立！ 理解这一点，能帮助我们在更复杂的情境中正确分析概率。